[Revue statistique] Quatre règles de variables stochastiques

introduction

Maintenant que j'ai commencé à passer en revue les ** statistiques **, je voudrais résumer ma propre interprétation dans un mémorandum. Cette fois, je résumerai l'opération la plus élémentaire ** à quatre règles des variables stochastiques ** dans les statistiques, et à l'avenir, je résumerai ** l'estimation, les tests, l'analyse multivariée et les statistiques bayésiennes **. J'essaierai d'être utile à ceux qui veulent examiner les statistiques et à ceux qui veulent vérifier leur compréhension des statistiques.

Qu'est-ce que les statistiques estimées?

Qu'est-ce que les statistiques estimées en premier lieu? Une anecdote célèbre sur les statistiques estimées est l'histoire de ** Poancare et Baker **.

L'anecdote est la suivante. Poancare est une boulangerie familière, et il achetait souvent du pain pesant 1000g. Cependant, Poancare, qui a estimé que le poids était trompé, a décidé de peser le pain qu'il achetait à chaque fois. Un an plus tard, Poancare a confirmé que le pain qu'il avait acheté jusqu'à présent avait une distribution normale de 950 g en moyenne et a découvert la fraude.

Maintenant, combien de pain Poancare avait-il réellement besoin d'acheter pour détecter la fraude dans la boulangerie? En utilisant une estimation statistique des segments, nous pouvons voir que ** acheter environ 70 morceaux de pain est une certitude à 99,98% que la boulangerie triche ** (assez prudent). * À proprement parler, il est nécessaire de déterminer à l'avance le nombre d'échantillons afin d'éviter de rendre le prélèvement artificiel.

Quatre règles en statistique

Avant de passer brusquement à l'estimation par intervalles des statistiques, nous devons comprendre ** la formule des quatre règles de fonctionnement en statistique **. Nous dérivons la formule, mais si elle est gênante, vous pouvez la comprendre dans une certaine mesure en ne vérifiant que les résultats et les commentaires.

Pour plus de commodité, définissez les symboles et formules suivants. Aussi, par souci de simplicité, nous supposerons que le poids du pan est une valeur discrète qui ne prend qu'une valeur entière, mais dans le cas d'une valeur continue (nombre réel), il suffit de définir $ \ sum_ {} $ à $ \ int $.

** Définition des symboles et des formules ** </ font> ・ $ X = (x_1, x_2, x_3 ・ ・ ・ x_n): $ ** Variable de probabilité ** (valeurs pouvant prendre le poids du pain, par exemple 900g, 901g, 902g ・ ・ ・ 1000g, 1001g, 1002g, etc.)

\begin{align}
E(X+Y)&=\sum_{j,k}(x_j+y_k)f(x_j,y_k)\\
&=\sum_{j,k}x_jf(x_j,y_k)+\sum_{j,k}y_kf(x_j,y_k)\\
&=\sum_{j}x_jf(x_j)\sum_{k}f(y_k)+\sum_{k}y_kf(y_k)\sum_{j}f(x_j)\\
&=\sum_{j}x_jf(x_j)+\sum_{k}y_kf(y_k)\\
&=E(X)+E(Y)
\end{align}

\begin{align}
E(X×Y)=&\sum_{j,k}\bigl(x_jy_kf(x_j,y_k)\bigr)\\

=&\sum_{j}x_jf(x_j)\sum_{k}y_kf(y_k)\\
=&E(X)E(Y)
\end{align}

\begin{align}
E(a×X)&=\sum_{j}\bigl(a(x_j)f(x_j)\bigr)\\
&=ax_1f(x_1)+ax_2f(x_2)・ ・ ・\\
&=aE(X)
\end{align}

\begin{align}
V(X+Y)=&\sum_{j,k}\bigl(x_j+y_k-(μ_X+μ_Y)\bigr)^2f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}\bigl(x_j^2+y_k^2+μ_X^2+μ_Y^2+2x_jy_k-2x_jμ_X-2x_jμ_Y-2y_kμ_X-2y_kμ_Y+2μ_Xμ_Y\bigr)f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}\bigl(x_j-μ_X\bigr)^2f(x_j,y_k)+\sum_{j,k}\bigl(y_k-μ_Y\bigr)^2f(x_j,y_k)+2\sum_{j,k}\bigl(x_j-μ_X\bigr)\bigl(y_k-μ_Y\bigr)f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j}\bigl(x_j-μ_X\bigr)^2f(x_j)+\sum_{k}\bigl(y_k-μ_Y\bigr)^2f(y_k)+2\sum_{j}\bigl(x_j-μ_X\bigr)f(x_j)\sum_{k}\bigl(y_k-μ_Y\bigr)f(y_k)\\
=&V(X)+V(Y)
\end{align}

\begin{align}
V(X×Y)=&\sum_{j,k}\bigl(x_jy_k-μ_Xμ_Y\bigr)^2f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}\bigl((x_jy_k)^2-2x_jy_kμ_Xμ_Y+(μ_Xμ_Y)^2\bigr)f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}(x_jy_k)^2f(x_j,y_k)-μ_Xμ_Y\sum_{j,k}2x_jy_kf(x_j,y_k)+(μ_Xμ_Y)^2\\
=&\sum_{j,k}(x_jy_k)^2f(x_j,y_k)-2(μ_Xμ_Y)^2+(μ_Xμ_Y)^2\\
=&\sum_{j}x_j^2f(x_j)\sum_{k}y_k^2f(y_k)-(μ_Xμ_Y)^2 \\
=&E(X^2)E(Y^2)-(μ_Xμ_Y)^2\\
=&\bigl(V(X)+μ_X^2\bigr)\bigl(V(Y)+μ_Y^2\bigr)-(μ_Xμ_Y)^2　※V(X)=\sum_{k}(x_k-μ_X)^2f(x_k)=E(X^2)-μ_X^2\\
=&V(X)V(Y)+μ_Y^2V(X)+μ_X^2V(Y)
\end{align}

\begin{align}
V(a×X)=&\sum_{j}(ax_j-μ_{ax})^2f(x_j)\\
=&(ax_1-aμ_x)^2+(ax_2-aμ_x)^2+(ax_3-aμ_x)^2+・ ・ ・\\
=&a^2\sum_{j}(x_j-μ_{x})^2f(x_j)\\
=&a^2V(X)
\end{align}