Cible

Je pense que le contenu convient à ceux qui ont appris la mécanique quantique en classe ou qui l'ont appris par eux-mêmes. S'agit-il d'étudiants de premier cycle en sciences? C'est encore mieux si vous aimez la programmation! Ce n'est pas pour les gens qui ne connaissent pas du tout la mécanique quantique, alors n'ayez pas peur ...

Résumé

Peeking in Python, not scary quantum Mechanics 1: Infinite well type potential

Le puits infini, c'est comme voir une onde stationnaire à extrémité fixe, ce qui n'a peut-être pas été un résultat aussi étrange, mais le fait que l'énergie ait été quantifiée (discrète) est vivant. Ça devrait être.

Cette fois, nous traiterons de hauteurs de puits finies.

Potentiel de type de puits limité

Encore une fois, l'équation de Schroedinger stable (équation de valeur propre) à résoudre:

H\psi_\ell(x) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi_\ell(x) = E_\ell\psi_\ell(x)\\
V(x) = \begin{cases}
0 & -\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}\\
V_0 & otherwise
\end{cases}

$ - \ frac {L} {2} <x <\ frac {L} {2} $ semble se comporter comme une particule libre. Le potentiel dépend de la hauteur, mais si l'énergie de la cible est la hauteur du mur La sagesse commune en mécanique classique est que vous ne pouvez pas traverser un mur s'il est inférieur à l'énergie correspondante.

Cette fois, $ V_0 = 150 $. La non dimensionnement est $ m = \ hbar = L = 1 $.

Différenciation

C'est presque la même chose que la dernière fois, je vais donc l'omettre, seule la définition du potentiel est différente.

la mise en oeuvre

Maintenant, c'est du codage, c'est aussi un détournement du précédent.

import numpy as np
from scipy.integrate import simps, quad
import matplotlib.pyplot as plt

##Les paramètres du système
L, N = 1, 400
x, dx = np.linspace(-L, L, N), 2 * L / N

##Définition du terme d'exercice
K = np.eye(N, N)
K_sub = np.vstack((K[1:], np.array([0] * N)))
K = dx**-2 * (2 * K - K_sub - K_sub.T)

##Définition du terme potentiel
V = np.diag([150] * (N // 4) + [0] * (N // 2) + [150] * (N // 4))

##Équation de valeur propre hamiltonienne
H = K / 2 + V
w, v = np.linalg.eigh(H)

##Trois valeurs propres d'énergie du bas
print(w[:3])

##Standardisation des solutions analytiques
A = 835.7
B = quad(lambda x: (A * np.exp(17.09 * x))**2, a = -np.inf, b=-L/2)[0]
B += quad(lambda x: (np.cos(2.815 * x))**2, a = -L/2, b = L/2)[0] 
B += quad(lambda x:(A * np.exp(-17.09 * x))**2, a = L/2, b = np.inf)[0]
B = B**0.5

##terrain
plt.plot(x, np.abs(v.T[0] / simps(v.T[0]**2, x)**0.5), label="ground state")
plt.plot(x, v.T[1] / simps(v.T[1]**2, x)**0.5, label="1st excited state")
plt.plot(x, v.T[2] / simps(v.T[2]**2, x)**0.5, label="2nd excited state")
plt.plot(x, np.cos(2.815 * x) / B, '--', label="analytical : cos(kx)")
plt.plot(x, A * np.exp(-17.09 * x) / B, '--', label="analytical : exp(-kappa x)")
plt.plot(x, A * np.exp(17.09 * x) / B, '--', label="analytical : exp(kappa x)")
plt.show()

Pour le calcul numérique, il suffit de changer un peu le potentiel. $ A et B $ sont les coefficients de la solution analytique. Cela sera décrit plus loin.

Lorsqu'elles sont calculées, les valeurs propres sont respectivement $ E_0 = 3,96, E_1 = 15,7, E_2 = 35,3 $, et ** la fonction d'onde suinte dans la paroi même si elle a une énergie nettement inférieure au potentiel. C'est ce qu'on appelle l'effet tunnel. **

Considération

En regardant le graphique, il semble que l'état excité supérieur dégage davantage, mais si nous acceptons l'exsudation de la fonction d'onde comme un fait, c'est un résultat naturel.

Ensuite, la raison pour laquelle la fonction d'onde exsude est que la relation incertaine [^ 1] $ \ Delta x \ Delta p \ geq \ frac {\ hbar} {2} $ provoque l'impulsion $ p $, et donc l'énergie cinétique. En d'autres termes, lors de l'observation de l'élan, il a une fluctuation d'environ $ \ Delta p $ autour de la valeur attendue $ \ angle p \ rangle $, et l'élan plus grand que le résultat $ \ angle p \ rangle $. Il peut avoir [^ 2], ce qui montre la possibilité de dépasser le potentiel du puits.

De plus, si vous demandez "Pouvez-vous avoir une fluctuation plus grande que $ \ Delta p $", c'est possible. $ \ Delta x $ est $ x $ -affichage, $ \ Delta p $ est $ p $ -affichage. Elle correspond à la largeur du flux d'onde de la fonction d'onde, et il y a une faible probabilité qu'elle dépasse cette largeur. Par conséquent, elle doit dépasser $ \ frac {(p + \ Delta p) ^ 2} {2m} $. Même si vous préparez un bon puits, des infiltrations se produiront.

C'est un peu déroutant, je pense que c'est le "mur des concepts".

Solution analytique

Partie d'amortissement séparée à l'extérieur du puits et partie libre à l'intérieur

\psi(x) = \begin{cases}
Ae^{\kappa x} & x < -\frac{L}{2}\\
\cos(kx)\ \ \ {\rm or}\ \ \sin(kx) & -\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}\\
Ae^{-\kappa x} & \frac{L}{2} < x
\end{cases}

J'ignore la standardisation cette fois. Cette fois, considérons la base $ \ cos (kx) $. La condition de connexion [^ 3] à ces $ x = -L / 2, L / 2 $ En imposant

\kappa = k\tan\frac{k}{2}, \hspace{1cm} k^2 + \kappa^2 = 2V_0 = 300

$ K, \ kappa $ et $ A $ sont fixes. Cela devient une équation transcendantale grâce à $ \ tan (k / 2) $ et ne peut être résolue analytiquement. , Il n'y a pas d'autre choix que de se fier au calcul numérique. Si vous résolvez le problème de standardisation plus avant, il ressemblera à la ligne brisée de la figure ci-dessus. La zone de définition de la ligne brisée est intentionnellement définie sur la zone entière. La fonction triangulaire et la fonction exponentielle se croisent au niveau du mur. Vous pouvez voir qu'il est connecté en douceur.

Je veux juste résoudre l'équation des valeurs propres, mais c'est assez compliqué.

Quel est l'état dispersé?

Cette fois, je n'ai traité que de l'état lié. L'état diffusé n'est pas très compatible avec le calcul numérique car il a une condition aux limites qui fait de la fonction d'onde une onde plane à l'infini. Si vous le manipulez, il s'agit d'un très grand espace. Vous devez préparer et voir seulement une partie de celui-ci. ** L'état dispersé n'est pas L2 (espace de Hilbert) en premier lieu. ** Cela peut être utilisé pour discuter du rapport des fonctions d'onde, mais en termes d'interprétation stochastique En plus du débat suspect, ** je suis confronté à la divergence des quantités physiques, qui est propre à la théorie quantique [^ 4]. ** Si vous essayez de calculer $ \ Delta x $, vous comprendrez immédiatement. [^ 5].

Bonus: Wolfram Alpha

J'ai trouvé une équation qui ne peut pas être résolue analytiquement. S'il s'agit d'une solution numérique, c'est une bonne idée de la jeter dans la dichotomie ou la méthode Newton, mais cette fois dans Wolfram Alpha Laissons-moi faire, c'est le fils de Mathematica

Bel endroit

Utilisation gratuite

En outre, il est possible de calculer comme Mathematica. Un petit calcul lourd restera bloqué dans le temps de calcul standard dépassé, mais c'est assez pratique. La version Pro n'a probablement pas de limite de temps. Je pense que c'était un bon prix.

Vous pouvez l'écrire de manière appropriée

Cela fonctionne comme Tex, Python ou Mathematica (langage Wolfram). C'est incroyable. L'exemple ci-dessus n'a pas un style d'écriture très unifié. Hmm.

S'il ne peut pas être résolu analytiquement, il sera résolu numériquement.

SymPy effectue également le calcul de l'analyse, mais s'il ne peut pas être résolu analytiquement comme cette fois, il renvoie une erreur. D'autre part, Wolfram Alpha donne une solution numérique. De plus, il produit également un graphique.

Personnellement, j'aimerais que SymPy fasse de son mieux, mais pour le moment, je pense que Wolfram Alpha est trop bon pour rivaliser.Si vous craignez que Mathematica soit trop cher, veuillez l'utiliser. est.

[^ 1]: Souvent appelé le "principe d'incertitude", qui est dérivé de la relation d'échange canonique $ [x, p] = i \ hbar $ et n'est pas très approprié pour l'appeler le principe. Je pense.

[^ 2]: Bien sûr, cela peut être petit.

[^ 3]: Différentiable à $ x = -L / 2, L / 2 $. En d'autres termes, continue et lisse.

[^ 4]: Dans la théorie quantique des champs, ce genre de problème de divergence apparaît partout sous forme de "divergence ultraviolette". Pour éviter cela, une théorie des transferts est née.

[^ 5]: Lorsque la fonction d'onde est une onde plane, $ \ Delta p = 0 $. Cela indique que l'onde plane est un état propre de la quantité de mouvement. Puisque la quantité de mouvement est fixe, la fluctuation de la position est bien entendu divergente. Je vais.

Peeping en Python, pas de mécanique quantique effrayante 2: potentiel de type puits fini