Dualité en fonction

Les vecteurs et co-vecteurs sont égaux et leurs rôles peuvent être échangés. C'est ce qu'on appelle la dualité. Vérifions avec un exemple. Joindre le calcul par NumPy.

Ceci est une série d'articles.

1. Produit interne à penser par estimation
2. Covector pour penser avec fonction
3. Matrice pour penser avec la fonction
4. Dualité en fonction ← Cet article
5. Pensée Perceptron dans Covector

On suppose que NumPy est importé comme suit.

>>> from numpy import *

Dualité

Auparavant, j'ai considéré le calcul du tableau suivant.

Pour calculer cela, préparez une matrice et un vecteur.

>>> A=array([[30,50,150],[25,60,120]]).T
>>> A
array([[ 30,  25],
       [ 50,  60],
       [150, 120]])
>>> X=array([[12,10,5]]).T
>>> X
array([[12],
       [10],
       [ 5]])

A=\left(\begin{matrix} 30 & 25 \\ 50 & 60 \\ 150 & 120 \end{matrix}\right),
X=\left(\begin{matrix} 12 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}\right)

Notez qu'il a la même forme que le calcul de la table. Si vous retournez le côté gauche, vous pouvez obtenir le même numéro même si vous modifiez l'ordre.

>>> dot(A.T,X)
array([[1610],
       [1500]])
>>> dot(X.T,A)
array([[1610, 1500]])

A^{\top}X
=\left(\begin{matrix} 30 & 50 & 150 \\ 25 & 60 & 120 \end{matrix}\right)
 \left(\begin{matrix} 12 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 1610 \\ 1500 \end{matrix}\right) \\
X^{\top}A
=\left(\begin{matrix} 12 & 10 & 5 \end{matrix}\right)
 \left(\begin{matrix} 30 & 25 \\ 50 & 60 \\ 150 & 120 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 1610 & 1500 \end{matrix}\right) \\

Ceci est interprété comme un échange des rôles de vecteur et de covecteur. Si vous passez un vecteur comme argument, un vecteur sera retourné, et si vous passez un covecteur, un covecteur sera retourné.

Formellement, lorsque le tout est transposé, l'ordre est inversé et le tout est transposé individuellement.

(A^{\top}X)^{\top}=X^{\top}A

Cela revient à inverser le signe du tout par soustraction, mais l'ordre n'est pas inversé si le signe est inversé individuellement.

\begin{align*}
-(3-2)
&=2-3 \\
&=(-3)-(-2)
\end{align*}

Nombre d'entrées / sorties

Le flux de calcul est inversé pour les vecteurs et les co-vecteurs.

\underbrace{GF}_{Synthétique}
=\overbrace{\left(\begin{matrix}g_1 & g_2 & g_3\end{matrix}\right)}^{Nombre d'entrées 3}
 \quad\scriptsize{Nombre de sorties 3}\normalsize{\Biggr\{
  \left(\begin{matrix}f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \\ f_{31} & f_{32}\end{matrix}\right)} \\
\overbrace{\left(\begin{matrix}f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{21} & f_{22} & f_{23} \end{matrix}\right)}^{Nombre de sorties 3}
 \quad\scriptsize{Nombre d'entrées 3}\normalsize{\Biggr\{
  \left(\begin{matrix}g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{matrix}\right)}
=\underbrace{FG}_{Synthétique}

Si vous supprimez le nombre d'éléments intermédiaires, seules les entrées et les sorties restent.

\underbrace{1}_{production}×\underbrace{3←3}_{Suppression}×\underbrace{2}_{contribution} \\
\underbrace{2}_{contribution}×\underbrace{3→3}_{Suppression}×\underbrace{1}_{production}

Flux de calcul

Le flux de calcul comprenant l'entrée et la sortie est affiché. Le nombre rouge représente le nombre d'éléments.

Schématisez en vous concentrant sur la valeur.

\underbrace{y}_{production}
\xleftarrow{G}
\underbrace{\left(\begin{matrix}t_1 \\ t_2 \\ t_3\end{matrix}\right)}_{Valeur au milieu}
\xleftarrow{F}
\underbrace{\left(\begin{matrix}x_1 \\ x_2\end{matrix}\right)}_{contribution} \\
\underbrace{\left(\begin{matrix}x_1 & x_2\end{matrix}\right)}_{contribution}
\xrightarrow{F}
\underbrace{\left(\begin{matrix}t_1 & t_2 & t_3\end{matrix}\right)}_{Valeur au milieu}
\xrightarrow{G}
\underbrace{y}_{production}

Dessinez une figure dans le style de Perceptron. Le déroulement du calcul est de droite à gauche selon la notation matricielle.

Notez la connexion entre $ t $ et $ x $. En prenant $ f_ {21} $ comme exemple, nous pouvons voir qu'en interprétant l'indice comme $ 2 ← 1 $, il correspond à l'indice du nœud $ t_2 ← x_1 $ connecté par la ligne. Le schéma est le suivant.

t_2 \xleftarrow{f_{21}} x_1 \\
x_1 \xrightarrow{f_{12}} t_2 \\

Assurez-vous que les autres lignes ont le même motif.