Avec Sympy, ne t'inquiète pas

Calcul avec Sympy

Préparation à l'utilisation avec Google Colab

#Sympy 1 dans le Google Colab actuel.1.Contient 1.
# Sympy 1.Puisque 1 ne peut pas calculer la «solution spéciale» décrite plus loin, 1.Passez à 3.
!pip install sympy==1.3
Collecting sympy==1.3
[?25l  Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/dd/f6/ed485ff22efdd7b371d0dbbf6d77ad61c3b3b7e0815a83c89cbb38ce35de/sympy-1.3.tar.gz (5.9MB)
      |████████████████████████████████| 5.9MB 4.1MB/s 
[?25hRequirement already satisfied: mpmath>=0.19 in /usr/local/lib/python3.6/dist-packages (from sympy==1.3) (1.1.0)
Building wheels for collected packages: sympy
  Building wheel for sympy (setup.py) ... [?25l[?25hdone
  Created wheel for sympy: filename=sympy-1.3-cp36-none-any.whl size=5199947 sha256=bc14a07ac6744969566fce4c541612a22adecb5bc83223ccc225ed28f415c38d
  Stored in directory: /root/.cache/pip/wheels/6c/59/86/478e3c0f298368c119095cc5985dedac57c0e35a85c737f823
Successfully built sympy
Installing collected packages: sympy
  Found existing installation: sympy 1.1.1
    Uninstalling sympy-1.1.1:
      Successfully uninstalled sympy-1.1.1
Successfully installed sympy-1.3
import sympy as sym
from sympy.plotting import plot
sym.init_printing(use_unicode=True)
%matplotlib inline
#Si vous utilisez Google Colab, exécutez pour prendre en charge l'affichage TeX par Sympy
def custom_latex_printer(exp,**options):
    from google.colab.output._publish import javascript
    url = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.3/latest.js?config=default"
    javascript(url=url)
    return sym.printing.latex(exp,**options)

sym.init_printing(use_latex="mathjax",latex_printer=custom_latex_printer)

Définition du symbole

Traite le caractère spécifié comme un symbole (caractère représentant une variable).

a = sym.Symbol('a')

Si vous souhaitez les définir tous ensemble, procédez comme suit.

a, b, c, x, y = sym.symbols("a b c x y")

Traite le caractère spécifié comme une fonction.

f = sym.Function('f')
g = sym.Function('g')

Polypoly simple

#La formule est une expression numérique ou une formule numérique en anglais
expr = x**2-12*x+8
expr
x^{2} - 12 x + 8
#Illustré la fonction obtenue
plot(expr, (x, -20, 20))

output_12_0.png

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7faf57ced080>

Facteur

#Affacturage
expr = x**2 + 2*x + 1
sym.factor(expr)
\left(x + 1\right)^{2}

Résous l'équation

#Équation ou égalité en anglais
eq = sym.Eq(expr)
eq
x^{2} - 12 x + 8 = 0
#Vous pouvez spécifier le côté droit comme ceci
eq = sym.Eq(x**2-12*x, -8)
eq
x^{2} - 12 x = -8
#Résous l'équation
sym.solve(eq)
\left [ - 2 \sqrt{7} + 6, \quad 2 \sqrt{7} + 6\right ]
#Peut gérer des expressions à l'aide de l'algèbre
eq = sym.Eq(a * x ** 2 + b * x + c)
eq
a x^{2} + b x + c = 0
#Résoudre pour x
sym.solve(eq, x)
\left [ \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}, \quad - \frac{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}\right ]
#Équations simultanées
eq1 = 3 * x + 5 * y - 29
eq2 = x + y - 7

sym.solve([eq1, eq2])
x : 3, y : 4

différentiel

expr = 2 * x ** 2 + 5 * x - 3
expr
2 x^{2} + 5 x - 3
#différentiel
sym.Derivative(expr)
\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 5 x - 3\right)
#Calculez le différentiel
sym.Derivative(expr).doit()
4 x + 5
#C'est pareil même si c'est écrit comme ça
sym.diff(expr)
4 x + 5
# sym.Noté comme une équation utilisant Eq
sym.Eq(sym.Derivative(expr), sym.diff(expr))
\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 5 x - 3\right) = 4 x + 5
#Il a la même signification que ci-dessus, mais s'il n'y a qu'une seule variable, elle peut être omise comme ci-dessus.
#S'il y a deux variables ou plus, vous devez spécifier ce que vous voulez différencier.
sym.Eq(sym.Derivative(expr, x), sym.diff(expr, x))
\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 5 x - 3\right) = 4 x + 5
#Différentiel de second ordre
sym.Eq(sym.Derivative(expr, x, 2), sym.diff(expr, x, 2))
\frac{d^{2}}{d x^{2}} \left(2 x^{2} + 5 x - 3\right) = 4
#Différencier sur x x=Remplaçant 1
sym.diff(expr).subs(x, 1)
9
#Différencier sur x
expr = a * x ** 2 + b * x * y + c * y ** 2
sym.diff(expr, x)
2 a x + b y
#Différencier sur x x=Remplaçant 1
sym.diff(expr, x).subs(x, 1)
2 a + b y

Exercice 1

Complétez la formule différentielle suivante à l'aide de Sympy. [Indice] Lorsque vous utilisez une fonction telle que sin dans Sympy, écrivez-la sous la forme sym.sin.

1-1.

\frac{\partial}{\partial x} x^{a} =

1-2.

\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} =

1-3.

\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} =

1-4.

\frac{d}{d x} e^{x} =

1-5.

\frac{\partial}{\partial x} a^{x} =

1-6.

\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )} =

1-7.

\frac{d}{d x} \sqrt{x} =

1-8.

\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} =

1-9.

\frac{\partial}{\partial x} \sin^{a}{\left (x \right )} =

1-10.

\frac{\partial}{\partial x} \cos^{a}{\left (x \right )} =

1-11.

\frac{\partial}{\partial x} \tan^{a}{\left (x \right )} =

1-12.

\frac{\partial}{\partial x} \log{\left (x \right )}^{a} =

1-13.

\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} g{\left (x \right )} =

1-14.

\frac{d}{d x} \frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}} =

Équation différentielle normale

Résoudre $ 2 f '(x) + 5 f (x) = 0 $

#Équation différentielle normale
eq = sym.Eq(2 * f(x).diff(x,1) + 5 * f(x))
eq
5 f{\left (x \right )} + 2 \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
#Solution générale
ans = sym.dsolve(eq)
print(ans)
ans
Eq(f(x), C1*exp(-5*x/2))
f{\left (x \right )} = C_{1} e^{- \frac{5 x}{2}}
#Solution spéciale
ans = sym.dsolve(eq, ics={f(0):1})
print(ans)
ans
Eq(f(x), exp(-5*x/2))
f{\left (x \right )} = e^{- \frac{5 x}{2}}
plot(ans.rhs, (x, -10, 10)) #rhs est le bon côté(Right-hand side)Sens de

output_52_0.png

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7faf54dd4320>
#Solution spéciale x=Quand
print(ans.subs(x, 2))
ans.subs(x, 2)
Eq(f(2), exp(-5))
f{\left (2 \right )} = e^{-5}
#Si vous utilisez une méthode appelée evalf, elle se développera en virgule flottante
ans.subs(x, 2).evalf()
f{\left (2 \right )} = 0.00673794699908547

Exercice 2

Répondez aux questions suivantes sur l'équation différentielle normale $ f '' (x) + f '(x) + 4 f (x) = 0 $.

[Indice] ʻics = {f (0): 1, f () .diff (x, 1) .subs (, _): 1} Écrivez `` et remplissez _ de manière appropriée pour résoudre le problème.

L'intégration

#Équation d'intégration
expr  = x ** a
integ = sym.Integral(expr, x)
print(integ)
integ
Integral(x**a, x)
\int x^{a}\, dx
#Effectuer l'intégration
integ.doit()
\begin{cases} \frac{x^{a + 1}}{a + 1} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left (x \right )} & \text{otherwise} \end{cases}
#C'est pareil même si c'est écrit comme ça
sym.integrate(expr, x)
\begin{cases} \frac{x^{a + 1}}{a + 1} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left (x \right )} & \text{otherwise} \end{cases}
# sym.Noté comme une équation utilisant Eq
eq = sym.Eq(sym.Integral(expr, x), sym.integrate(expr, x))
print(eq)
eq
Eq(Integral(x**a, x), Piecewise((x**(a + 1)/(a + 1), Ne(a, -1)), (log(x), True)))
\int x^{a}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{a + 1}}{a + 1} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left (x \right )} & \text{otherwise} \end{cases}

Défi 3

Complétez la formule d'intégration suivante à l'aide de Sympy.

3-1.

\int \frac{1}{x}\, dx =

3-2.

\int a^{x}\, dx =

3-3.

\int e^{x}\, dx =

3-4.

\int \sin{\left (x \right )}\, dx =

3-5.

\int \cos{\left (x \right )}\, dx =

3-6.

\int \tan{\left (x \right )}\, dx =

3-7.

\int \log{\left (x \right )}\, dx =

3-8.

\int \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\, dx =

3-9.

\int \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\, dx =

3-10.

\int \left(- a + x\right)^{b}\, dx =

3-11.

\int \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\, dx =

Intégration constante

expr = (x-a)*(b-x)
eq = sym.Eq(sym.Integral(expr, (x, a, b)), sym.integrate(expr, (x, a, b))).factor()
print(eq)
eq
Eq(-Integral((-a + x)*(-b + x), (x, a, b)), -(a - b)**3/6)
- \int_{a}^{b} \left(- a + x\right) \left(- b + x\right)\, dx = - \frac{\left(a - b\right)^{3}}{6}
expr = x/(x**2 + 1)
eq = sym.Eq(sym.Integral(expr, (x, 1, 2)), sym.integrate(expr, (x, 1, 2)))
print(eq)
eq
Eq(Integral(x/(x**2 + 1), (x, 1, 2)), -log(2)/2 + log(5)/2)
\int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = - \frac{\log{\left (2 \right )}}{2} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{2}
sym.integrate(expr, (x, 1, 2)).evalf()
0.458145365937078

Exercice 4

Résolvez l'équation intégrale constante suivante à l'aide de Sympy.

\int_{0}^{1} \frac{4}{x^{2} + 1}\, dx =

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