Comprendre la signification des formules de distribution normale complexes et bizarres

La distribution normale joue un rôle très important dans les statistiques. La formule (fonction de densité) qui exprime la distribution normale est

\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)

Mais c'est une formule très compliquée ...

Cela semble un peu plus facile avec une distribution normale standard avec une variance de $ \ sigma ^ 2 = 1 $ et une moyenne de $ \ mu = 0 $.

\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)

Cela ressemble à ceci dans un graphique. C'est un type de cloche. (Ci-après, je dessinerai un graphe de manière appropriée avec python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-4,4, 100)
y = (1/np.sqrt(2*np.pi))*np.exp(-x**2/2)

plt.ylim(0,0.45)
plt.plot(x,y)
plt.show()

En premier lieu, la distribution normale est lisse et symétrique, et je pense que le point de départ est que nous voulons exprimer la probabilité avec une fonction qui est regroupée en un point. Alors franchissez le pas et utilisez une fonction quadratique

f(x) = x^2

Si vous le dessinez dans un graphique comme

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10,10, 100)
y = x**2

plt.plot(x,y)
plt.show()

Hmmm, je suis malade. Si tel est le cas, il ne sera pas distribué, alors multipliez-le par moins et tournez-le vers le haut.

f(x) = -x^2

x = np.linspace(-1,1, 100)
y = -x**2

plt.xlim(-1.2,1.2)
plt.ylim(-1,0.2)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Ça devient un peu comme ça. Pour allonger l'ourlet et le faire en forme de cloche, vous pouvez le monter sur $ e $.

f(x) = e^{-x^2}

x = np.linspace(-1,1, 100)
y = np.exp(-x**2)

plt.xlim(-1.5,1.5)
plt.ylim(0,1.2)
plt.plot(x,y)
plt.show()

La forme est maintenant tout à fait normale. L'origine de la forme de cette distribution normale était $ e ^ {-x ^ 2} $.

Après cela, $ x $ est $ 1 / \ sqrt {2} $ afin qu'il puisse être calculé facilement lorsqu'il est différencié. Autrement dit, convertissez la variable en $ y = \ sqrt {2} x $.

g(y) = \exp \left(-\frac{y^2}{2} \right)

x = np.linspace(-3,3, 500)
y1 = np.exp(-(x**2))
y2 = np.exp(-(x**2)/2)

plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(0,1.1)
plt.plot(x,y1,"b", label="exp(-x^2)")
plt.plot(x,y2,"g", label="exp(-(x^2)/2")
plt.legend()
plt.show()

Il s'est répandu un peu sur le côté.

Il faut intégrer pour que l'aire de ce f (x) devienne 1 (car c'est une probabilité, et si tous les événements possibles sont ajoutés, elle devient 100%).

D'après [Gauss Integral (voir Wikipedia)](http://ja.m.wikipedia.org/wiki/Gauss Integral), la valeur intégrée pour toute la plage de $ x $ est

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}

Donc, si vous appliquez la transformation variable $ y = \ sqrt {2} x $

\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( {-\frac{y^2}{2}}\right)dy = \sqrt{2\pi}

est. Divisez les deux côtés par $ \ sqrt {2 \ pi} $

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( {-\frac{y^2}{2}}\right)dy = １

J'ai eu la formule de la distribution normale standard: blush:

x = np.linspace(-1,1, 100)
y = np.exp(-(x**2)/2)

plt.xlim(-1.5,1.5)
plt.ylim(0,1.2)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Cette formule a été ajustée en fonction de $ e ^ {-x ^ 2} $ afin qu'elle soit 1 lorsqu'elle est intégrée pour obtenir l'aire.