Aperçu

Présentez grossièrement la relation de chaque distribution
Création de code Python pour calculer et visualiser la distribution
Exécutez dans des conditions différentes et confirmez que l'erreur d'approximation peut être grande ou petite.

Livre de référence

Statistiques de base

En gros la relation de chaque distribution

Distribution supergéométrique et distribution binomiale

En distribution supergéométrique

Quelle est la probabilité d'avoir 3 balles rouges lorsque 10 balles sont sorties d'une boîte contenant chacune 20 balles rouges et bleues? Je pense au problème. La probabilité que le rouge apparaisse la première fois est de 50%, mais le nombre de rouges et de bleus restants change en raison de l'influence de la première fois, donc la probabilité change la deuxième fois. C'est ce qu'on appelle l'extraction sans restauration et chaque tentative n'est pas indépendante (Référence: biostatistique - distribution super géométrique)

En revanche, dans la distribution binomiale

Quelle est la probabilité que le rouge ressorte 3 fois lorsque l'essai consistant à retirer une balle de la boîte contenant une balle rouge et bleue et à la renvoyer est répété 10 fois? Je pense au problème. Chaque essai est indépendant et consiste à restaurer l'extraction, car chaque essai le restaure à son état d'origine. Un exemple courant est le même que "Quelle est la probabilité de lancer une pièce 10 fois et d'obtenir une table 3 fois?" (Référence: Statistics WEB-binary distribution)

La distribution hypergéométrique peut être bien approximée par une distribution binomiale si le nombre total (le nombre de billes dans la boîte) est suffisamment supérieur au nombre d'extraits.

Distribution binaire, distribution de Poisson et distribution normale

La distribution binomiale est

Si le nombre d'essais (le nombre de fois pour lancer des pièces) est assez grand, il peut être bien estimé avec une distribution normale.
Si la probabilité d'un essai est extrêmement faible (par exemple, une pièce qui est déformée et n'apparaît qu'une fois sur 1000), elle peut être bien approximée par la distribution de Poisson. (La raison de l'approximation est que le calcul devient plus facile)

Calcul de la distribution et confirmation de l'erreur d'approximation

Code Python (partie fonction)

import scipy as sc
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

# functions ------------------------
def binomial(n, x, p):
    '''
Distribution binaire
Les événements avec une probabilité p se produisent x fois dans n essais
Chaque essai est indépendant
Exemple: Un événement qui donne 3 sur un dé (probabilité p)=1/6) mais n dés=X lorsque secoué 10 fois=5 fois)
        nCx * p^x * (1-p)^(n-x)
    '''
    return (
        sc.special.comb(n, x)
        * np.power(p, x)
        * np.power(1 - p, n - x)
    )

def poisson(n, x, p):
    '''
Distribution de Poisson
        p->Lorsque 0, la distribution binomiale devient une distribution de Poisson.
    '''
    mean = n * p
    return (
        np.power(mean, x)
        * np.exp(-mean)
        / sc.special.factorial(x)
    )

def gaussian(n, x, p):
    '''
distribution normale
        n->Quand oo, la distribution binomiale devient une distribution normale
    '''
    mean = n * p
    variance = np.power(n * p * (1 - p), 1/2)
    return (
        1.0 
        / (np.power(2 * np.pi, 1/2) * variance)
        / np.exp(
            np.power(x - mean, 2)
            / (2 * np.power(variance, 2))
            )
    )

def hypergeometric(n, x, p, N):
    '''
Distribution super géométrique
Chaque essai n'est pas indépendant
Il est nécessaire de considérer tous les N pour une extraction sans restauration
    '''
    target_size = N * p  #Nombre de hits dans l'ensemble
    return (
        sc.special.comb(target_size, x)  #X combinaisons par
        * sc.special.comb(N - target_size, n - x)  #Perdu n-x combinaisons
        / sc.special.comb(N, n)  #Toutes les combinaisons de n
    )


def calc_distributions(n, p, cols, N=0):
    '''
    ex.:
    n = 30  #Nombre d'essais
    p = 0.16  #Pourcentage de hits
    N = 1000  #Tous (utilisé uniquement dans la distribution supergéométrique)
    '''
    #Préparer un tableau pour stocker les résultats
    bi_arr = np.zeros(n + 1, dtype=np.float)
    po_arr = np.zeros(n + 1, dtype=np.float)
    ga_arr = np.zeros(n + 1, dtype=np.float)

    for x in np.arange(n + 1):
        #Stocker les résultats dans un tableau
        bi_arr[x] = binomial(n, x, p) 
        po_arr[x] = poisson(n, x, p) 
        ga_arr[x] = gaussian(n, x, p) 

    #Stocker le résultat dans un bloc de données
    df = pd.DataFrame()
    df['Distribution binaire'] = bi_arr
    df['Distribution de Poisson'] = po_arr
    df['distribution normale'] = ga_arr

    if N > 0:
        hy_arr = np.zeros(n + 1, dtype=np.float)
        for x in np.arange(n + 1):
            hy_arr[x] = hypergeometric(n, x, p, N)
        df['Distribution super géométrique'] = hy_arr

    return df[cols]


def visualize(df,n, p, N=0):
    plot_params = {
        'linestyle':'-', 
        'markersize':5,
        'marker':'o'
    }
    colors = [
        'black',
        'blue',
        'green',
        'purple',
    ]
    
    plt.close(1)
    figure_ = plt.figure(1, figsize=(8,4))    
    axes_ = figure_.add_subplot(111)  #Créer des axes
    for i, col in enumerate(df.columns):
        if i == 0:
            plot_params['linewidth'] = 2
            plot_params['alpha'] = 1.0
        else:
            plot_params['linewidth'] = 1
            plot_params['alpha'] = 0.4
        plot_params['color'] = colors[i]
        axes_.plot(
            df.index.values, df[col].values,
            label = col,
            **plot_params,
        )

    plt.legend()
    plt.xlabel('Nombre de hits x')
    plt.ylabel('Probabilité de gagner x fois sur n fois')
    title = 'Pourcentage de visites p:{p:.2f},Nombre d'essais n:{n}'.format(p=p, n=n)
    if 'Distribution super géométrique' in df.columns:
        title += ',Tout N:{N}'.format(N=N)
    plt.title(title)
    xmax = n * p * 2
    if xmax<10: xmax = 10;
    plt.xlim([0, xmax])
    #(L'expression «nombre de fois» n'est pas bonne compte tenu de l'extraction sans restauration)

Exécuter dans des conditions différentes, vérifier l'erreur

Lancez les dés 100 fois et combien de fois 1 sort

n = 100; p = 0.167
df = calc_distributions(n, p, cols=['Distribution binaire', 'Distribution de Poisson', 'distribution normale'])
visualize(df, n, p)

La distribution binaire et la distribution normale correspondent bien

Secouez la facette 100 fois 100 et combien de fois 1 apparaîtra

n = 100; p = 0.01
df = calc_distributions(n, p, cols=['Distribution binaire', 'Distribution de Poisson', 'distribution normale'])
visualize(df, n, p)

La distribution binaire et la distribution de Poisson correspondent bien

10% des 5000 habitants sont des enfants. Combien d'enfants sur 100 sont-ils sélectionnés?

n = 100; p = 0.1; N = 5000
df = calc_distributions(n, p, cols=['Distribution super géométrique','Distribution binaire'], N=N)
visualize(df, n, p, N)

La distribution supergéométrique et la distribution binomiale correspondent bien

10% des 500 habitants sont des enfants. Combien d'enfants sur 100 sont-ils sélectionnés?

n = 100; p = 0.1; N = 500
df = calc_distributions(n, p, cols=['Distribution super géométrique','Distribution binaire'], N=N)
visualize(df, n, p, N)

L'erreur est perceptible par rapport au cas de N = 5000

fin

Relation et erreur d'approximation de la distribution binomiale, distribution de Poisson, distribution normale, distribution supergéométrique