Comprendre attentivement la distribution de Poisson et dessiner en Python

introduction

La ** distribution de Poisson ** apparaît toujours lors de l'étude des statistiques, mais comme la formule de la distribution de probabilité dans l'exemple ne m'est pas venue à l'esprit, j'ai pensé essayer de la comprendre attentivement à partir de la dérivation de la distribution de probabilité. Je dessine également en Python pour saisir l'image.

référence

Pour comprendre la distribution de Poisson et dessiner la distribution, je me suis référé à ce qui suit.

• [Mathématiques universitaires] Distribution de Poisson (exemples concrets et leurs significations, limite extrême de Poisson) [Statistiques de probabilité]
• Introduction aux statistiques (statistiques de base I)
• Quelle est la distribution de Poisson? Expliquer sa nature et son utilisation à partir d'un exemple [Formule prédisant le nombre de soldats frappés par des chevaux et mourants]
• Dérivation de la valeur attendue / variance de la distribution de Poisson (preuve)

Comprendre la distribution de Poisson

Quelle est la distribution de Poisson

P(X=k) = \frac{\lambda^k \mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}

La distribution de Poisson est une distribution de probabilité qui représente la probabilité qu'un événement qui se produit en moyenne $ \ lambda $ fois par unité de temps se produise exactement $ k $ fois. On dit que la distribution de Poisson suit la distribution de probabilité ci-dessus, mais ce n'est pas clair car la puissance du nombre de Napier sort dans la formule et la puissance de rang sort. Je vais suivre ci-dessous, y compris à quoi ressemble la formule.

De plus, lorsque la variable de probabilité $ X $ suit la distribution de Poisson du paramètre $ \ lambda $, elle s'écrit $ X ~ Po (\ lambda) $.

Voici des exemples d'événements qui suivent la distribution de Poisson.

--Nombre de véhicules passant par une intersection spécifique en une heure --Nombre d'accès au site en une heure --Nombre d'e-mails reçus par jour --Nombre de visiteurs du magasin au cours d'une certaine période de temps

Historiquement, ** "Nombre de soldats tués par des chevaux dans l'armée prussienne" ** semble être le premier exemple de la distribution de Poisson, avec 1 $ par an comme unité de temps $ \ lambda = 0,61 $. Il a été démontré qu'il suit la distribution de Poisson de.

Calculons une probabilité spécifiquement. ex) Probabilité qu'un site consulté 5 fois par heure en moyenne soit consulté 10 fois ($ X ~ Po (5) $: selon la distribution de Poisson)

P(X=10) = \frac{5^{10} \mathrm{e}^{-5}}{10!} \fallingdotseq 0.018

Vous pouvez calculer la probabilité de cette façon. Dans le cas de cet exemple, vous pouvez voir que la probabilité est très faible, 1,8 $ % $.

Dérivation de la distribution de Poisson (limitation du pôle de Poisson)

Vue d'ensemble de la limitation extrême de Poisson

\lim_{\lambda = np, n\to \infty} {}_n \mathrm{C} _kp^{k}(1-p)^{n-k} = \frac{\lambda^k \mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}

La distribution de Poisson est approximativement dérivée en rapprochant $ n $ de l'infini tout en gardant la valeur de $ \ lambda $ constante dans une distribution binomiale avec les paramètres $ n $ et $ p = \ lambda / n $. C'est possible. En d'autres termes, la ** distribution de Poisson est la limite de la distribution binomiale **. C'est ce qu'on appelle la ** limitation extrême de Poisson **.

Si vous rapprochez $ n $ de l'infini tout en gardant la valeur de $ \ lambda $ constante, la valeur de $ p $ sera très petite en conséquence. Vous pouvez voir que la distribution peut être appliquée à des choses avec une très faible probabilité d'occurrence.

Expansion de formule de la théorie de limitation des pôles de Poisson

Je vais suivre le type de développement de formule que fait la théorie de la limitation des pôles de Poisson.

{\begin{eqnarray}

\lim_{n\to \infty} {}_n \mathrm{C} _kp^{k}(1-p)^{n-k} 
&=& \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{(n-k)!k!}p^{k}(1-p)^{n-k} \\
&=&\lim_{n\to \infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda}{n})^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\
&=&\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}(\frac{\lambda^{k}}{k!})(1-\frac{\lambda}{n})^{n}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \\
&=&\frac{\lambda^{k}}{k!}\lim_{n\to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n} \\
&=&\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}

\end{eqnarray}
}

La distribution de probabilité de la distribution de Poisson est dérivée par une telle expansion de formule, mais comme il y a des extensions de formule qui sont difficiles à comprendre, certaines d'entre elles seront complétées ci-dessous. Tout d'abord, c'est l'expansion de la 3e à la 4e ligne. $ \ frac {n} {n} \ frac {n-1} {n} \ cdots \ frac {n-k + 1} {n} $ rapproche $ n $ de l'infini, toutes les valeurs sont de 1 $ Il peut être traité comme $. De plus, $ (1- \ frac {\ lambda} {n}) ^ {-k} $ rapproche aussi $ n $ de l'infini de sorte que le contenu de $ () $ se rapproche de $ 1 $, qui est aussi une valeur. Peut être traité comme 1 $. L'expansion des 4e à 5e lignes utilise la formule de définition suivante pour le nombre de napiers.

\mathrm{e} = \lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}

Si vous le développez pour qu'il s'applique à ce qui précède, ce sera comme suit.

{\begin{eqnarray}

\lim_{n\to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n} &=& \lim_{n\to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{-\frac{1}{\frac{\lambda}{n}} (-\lambda)} \\
&=& \mathrm{e}^{-\lambda} 

\end{eqnarray}}

Avec cela, nous avons pu dériver la distribution de Poisson.

Nature de la distribution de Poisson

E(X) = \lambda  \\
V(X) = \lambda

La valeur attendue et la variance de la distribution de Poisson sont toutes deux $ \ lambda $. Le processus de dérivation suivant est décrit.

Processus de dérivation de la valeur attendue de la distribution de Poisson

\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{(k-1)!}\\ &=&λ\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=&λ\end{eqnarray*}

Commencez la formule sur la première ligne à partir de la valeur attendue et de la nature de la distribution de probabilité. Le développement d'expression des 4e à 5e lignes est $ \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {λ ^ {k-1} \ mathrm {e} ^ {-λ}} {(k-1) Puisque!} $ Est supposé additionner toutes les probabilités qui peuvent être prises dans la distribution de Poisson, la valeur peut être fixée à $ 1 $, et une telle expansion d'expression est possible.

Processus de dérivation de la dispersion de la distribution de Poisson

\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2
\end{eqnarray*}

A partir des caractéristiques ci-dessus de la dispersion, on peut voir que si $ E (X ^ {2}) $ peut être dérivé, la dispersion peut également être dérivée. Voici le processus de dérivation de $ E (X ^ {2}) $.

\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\sum_{k=0}^{n}k^{2}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k^{2}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ 
&=&\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\
&=&\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=&λ^{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=&λ^{2}+λ

\end{eqnarray*}

Utilisez ce qui précède pour calculer la variance.

\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2 \\
&=& λ^{2} + λ - λ^{2} \\
&=& λ
\end{eqnarray*}

Ici, nous avons pu dériver la valeur attendue et la variance de la distribution de Poisson.

Dessin de la distribution de Poisson

Dessiner une distribution de Poisson en Python

Cette fois, je dessinerai la distribution de Poisson des événements qui se produisent 10 fois en moyenne, des événements qui se produisent 20 fois en moyenne et des événements qui se produisent 30 fois en moyenne par unité de temps.

def poisson(lambda_, k):
    k = int(k)
    result = (lambda_**k) * (math.exp(-lambda_))  / math.factorial(k)
    return result

x =  np.arange(1, 50, 1)
y1= [poisson(10,i) for i in x]
y2= [poisson(20,i) for i in x]
y3= [poisson(30,i) for i in x]

plt.bar(x, y1, align="center", width=0.4, color="red"
                ,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 10)

plt.bar(x, y2, align="center", width=0.4, color="green"
                ,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 20)

plt.bar(x, y3, align="center", width=0.4, color="blue"
                ,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 30)

plt.legend()
plt.show()

Vous pouvez dessiner un graphique comme celui-ci. Il est intéressant de voir que plus la valeur de $ λ $ est élevée, plus la base de la distribution de probabilité est large. En passant, vous pouvez facilement dessiner une distribution de Poisson en utilisant une bibliothèque appelée scipy.

from scipy.stats import poisson

x =  np.arange(1, 50, 1)
y1= [poisson.pmf(i, 10) for i in x]
y2= [poisson.pmf(i, 20) for i in x]
y3= [poisson.pmf(i, 30) for i in x]

plt.bar(x, y1, align="center", width=0.4, color="red"
                ,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 10)

plt.bar(x, y2, align="center", width=0.4, color="green"
                ,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 20)

plt.bar(x, y3, align="center", width=0.4, color="blue"
                ,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 30)

plt.legend()
plt.show()

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