Comment trouver le coefficient de mise à l'échelle d'une ondelette bipolaire

Il existe différents types d'ondelettes bi-orthogonales, mais cette fois nous trouverons le coefficient d'échelle de l'ondelette de Cohen-Daubechies-Feauveau **.

• http://reference.wolfram.com/language/ref/CDFWavelet.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Cohen-Daubechies-Feauveau_wavelet
• http://wavelets.pybytes.com/wavelet/bior4.4/

Bibliothèque à utiliser

Nous utiliserons sympy pour calculer le facteur d'échelle en mode interactif de Python.

Réglage de précision

sympy utilise mpmath pour l'arithmétique à virgule flottante de précision arbitraire. La précision par défaut (le nombre de bits dans la partie formelle) est 53, ce qui est le même que le nombre à virgule flottante double précision, définissez-le donc à environ 256 selon le cas.

Terminal

>>> import sympy
>>> sympy.mpmath.mp.prec
53
>>> sympy.mpmath.mp.prec = 256

Affacturage par méthode DKA

Définissez $ N = 4 $ pour trouver la solution de l'équation suivante.

q(y) =
\sum_{k=0}^{N-1}
\begin{pmatrix}
N-1+k \\
k
\end{pmatrix}
y^k = 0

La description spécifique est la suivante.

q(y) = 20y^3 + 10y^2 + 4y + 1 = 0

Terminal

>>> qy = [sympy.mpmath.binomial(4-1+k,k) for k in [3,2,1,0]]
>>> qy
[mpf('20.0'), mpf('10.0'), mpf('4.0'), mpf('1.0')]

Comme il s'agit d'une équation cubique, il est possible de trouver une solution exacte avec la formule de Cardano, mais comme il suffit d'obtenir le coefficient d'échelle avec un nombre à virgule flottante, méthode DKA E2% 80% 93Kerner_method) est utilisé.

Terminal

>>> y = sympy.mpmath.polyroots(qy)
>>> y
[mpf('-0.3423840948583691316993036540027816871936619136844427977504078911201017562570965'), mpc(real='-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145069', imag='0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011043'), mpc(real='-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145069', imag='-0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011043')]

Puisqu'une solution réelle et deux solutions complexes conjuguées peuvent être obtenues, $ q (y) $ peut être décomposé en le produit de l'équation linéaire obtenue à partir de la solution réelle et de l'équation quadratique obtenue à partir de la solution complexe conjuguée.

Coefficient d'échelle

Créez $ h_0 (z) $ en utilisant une solution réelle. Définissez $ y = - (1/4) z + (1/2) - (1/4) z ^ {-1} $ et ajustez pour que $ h_0 (1) = \ sqrt {2} $ Je vais le laisser.

Terminal

>>> h0z = sympy.sympify('-sqrt(2.0)*(y-y0)/y0') \
...            .subs({'y':'-1/4*z+1/2-1/4/z', 'y0':y[0]})
>>> h0z
-1.032622122063015088779015687939062566223023943573534440451244148644675318677*z + 3.479457806499125323032653234616953582887408360779881380902488297289350637353 - 1.032622122063015088779015687939062566223023943573534440451244148644675318677/z

Appliquez des moments de fuite pour créer $ h (z) $.

h(z) = z^{-2} \left( \frac{1+z}{2} \right)^4 h_0(z)

Terminal

>>> hz = (sympy.sympify('z**(-2)*((z+1)/2)**4')*h0z).expand()
>>> hz
-0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729*z**3 - 0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457*z**2 + 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173*z + 0.7884856164056644517477371190118263104712661635056882976128110371611688296691 + 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173/z - 0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457/z**2 - 0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729/z**3

Retirez le coefficient.

Terminal

>>> scaling_coeff = [hz.coeff('z',k) for k in [-3,-2,-1,0,1,2,3]]
>>> scaling_coeff
[-0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, 0.7884856164056644517477371190118263104712661635056882976128110371611688296691, 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, -0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729]

Coefficient de mise à l'échelle double

Créez $ \ tilde {h_0} (z) $ en utilisant une paire de solutions complexes conjuguées. Mettez $ y = - (1/4) z + (1/2) - (1/4) z ^ {-1} $ puis $ \ tilde {h_0} (1) = \ sqrt {2} $ Je vais l'ajuster pour cela.

Terminal

>>> d_h0z = sympy.sympify('sqrt(2.0)*(y-y1)/y1*(y-y2)/y2') \
...              .subs({'y':'-1/4*z+1/2-1/4/z', 'y1':y[1], 'y2':y[2]})
>>> d_h0z
(-0.353553390593274*z + 0.818558056535050389640616746751093460160688904372839526463833807943026504668 - 0.5288177901591365145695624730424192033800671915517564410974157359390278433361*I - 0.353553390593274/z)*(-z/4 + 0.5788079525708154341503481729986091564031690431577786011247960544399491218714 + 0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011*I - 1/(4*z))/((-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145 - 0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011*I)*(-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145 + 0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011*I))

Appliquez le moment de fuite pour créer $ \ tilde {h} (z) $.

\tilde{h}(z) = z^{-2} \left( \frac{1+z}{2} \right)^4 \tilde{h_0}(z)

Terminal

>>> d_hz = (sympy.sympify('z**(-2)*((z+1)/2)**4')*d_h0z).expand()
>>> d_hz
0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563*z**4 - 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271*z**3 - 0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963*z**2 + 1.848054221112700632088327353557561911770062193154051589356698864673908481848e-78*I*z**2 + 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923*z - 0.00000000000000001776744107070853984299687632133069137868739252186023273178181181386681671503*I*z + 0.852698679009403501358319120148908609110388988411630399468592427310915899508 + 7.392216884450802528353309414230247647080248772616206357426795458695633927391e-78*I + 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923/z - 0.00000000000000001776744107070853984299687632133069137868739252186023273178180811775837448963*I/z - 0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963/z**2 + 1.848054221112700632088327353557561911770062193154051589356698864673908481848e-78*I/z**2 - 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271/z**3 + 0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563/z**4

Retirez le coefficient. Puisque la partie imaginaire est pratiquement 0, seule la partie réelle est utilisée.

Terminal

>>> d_scaling_coeff = [sympy.re(d_hz.coeff('z',k)) for k in [-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]]
>>> d_scaling_coeff
[0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563, -0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, 0.8526986790094035013583191201489086091103889884116303994685924273109158995080, 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, -0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, 0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563]

Coefficient d'ondelettes

Le coefficient d'ondelette $ g_n $ est le signe inversé de tout autre coefficient de double échelle $ \ tilde {h} _n $.

Terminal

>>> wavelet_coeff = [s*(-1)**k for k,s in zip([-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4], d_scaling_coeff)]
>>> wavelet_coeff
[0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563, 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, -0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, 0.8526986790094035013583191201489086091103889884116303994685924273109158995080, -0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, 0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563]

Coefficient d'ondelettes double

Le coefficient d'ondelettes double $ \ tilde {g} _n $ est l'inversion de tout autre coefficient de mise à l'échelle $ h_n $.

Terminal

>>> d_wavelet_coeff = [s*(-1)**k for k,s in zip([-3,-2,-1,0,1,2,3], scaling_coeff)]
>>> d_wavelet_coeff
[0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, -0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, 0.7884856164056644517477371190118263104712661635056882976128110371611688296691, -0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, 0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729]

Dessiner avec un algorithme en cascade

Vous pouvez trouver la valeur approximative de la fonction de mise à l'échelle avec l'algorithme en cascade.

• Code source

Les références

• I. Dobsey, Wavelet 10 conférences (Springer Fairlark Tokyo)