Fonction de transmission / modèle d'espace d'état du circuit série RLC et simulation par Python

Aperçu

Notes d'étude d'ingénierie de contrôle. La deuxième.

Dernière fois est une bibliothèque Python pour les systèmes de contrôle, "[[] J'ai simulé en utilisant "Python Control Systems Library" (https://python-control.readthedocs.io/en/0.8.3/index.html).

Cette fois, pour ** circuit série RLC **, nous trouverons la fonction de transfert / modèle d'espace d'état à partir de l'équation du circuit et la simulerons en utilisant Python.

Équation de circuit

Normalement, l'équation du circuit est formulée en utilisant ** current ** $ i (t) $ comme suit.

Cependant, ici, afin de correspondre au système mécanique de précédent, ** charge ** $ q (t) $ en utilisant la relation suivante. J'écrirai l'équation du circuit en utilisant.

L'équation de circuit avec la charge $ q (t) $ est la suivante.

Organisez la formule en changeant la différenciation en notation par points.

Cela a la même forme que l'équation de mouvement (ci-dessous) du point de qualité avec un degré de liberté dans le système ressort-masse-amortisseur montré dans précédent. Tu peux voir ça.

Modélisez le système avec une fonction de transfert

Dans le modèle de la mécanique, la fonction de transfert a été calculée avec la force $ f (t) $ comme ** entrée ** au système et le déplacement $ y (t) $ comme ** sortie ** du système.

Si cela correspond à cela, la fonction de transfert est obtenue en utilisant la tension d'entrée $ v \ _i (t) $ comme ** entrée ** pour le système et la charge $ q (t) $ comme ** sortie ** du système. Cependant, il n'est pas facile d'observer directement (mesurer) ** charge ** $ q (t) $ ** **. Aussi, en réalité, c'est la tension de chaque élément qui est intéressante. Par conséquent, ** dans le cas d'un circuit électrique, la fonction de transfert est calculée en utilisant la tension comme sortie **.

Ici, la tension d'entrée $ v \ i (t) $ est ** input ** $ u (t) $ au système, la tension aux bornes du condensateur $ v {C} (t) $ est la ** sortie ** du système. Trouvez la fonction de transfert avec $ y (t) $.

Faites de la sortie ci-dessus une expression pour $ q (t) $.

Remplacez ceci par l'équation de circuit ci-dessus $ L \ ddot {q} (t) + R \ dot {q} (t) + \ frac {1} {C} q (t) = v_ {i} (t) $ Remplacez pour obtenir:

Conversion Laplace de ceci pour trouver le système ** fonction de transfert ** $ G (s) = Y (s) / U (s) $ (à ce moment, $ \ dot {y} (En supposant 0) = 0 $ et $ y (0) = 0 $).

Dans le modèle dynamique, la fonction de transfert avec la force comme entrée et le déplacement comme sortie, la masse comme $ m $, le coefficient d'amortissement comme $ c $ et la constante de ressort comme $ k $ est la suivante. Vous pouvez voir que le système mécanique et le système de circuits ont des formes très similaires.

Modélisation / simulation avec Python

Utilisez la ** Python Control Systems Library ** de Python pour la simulation. Définissez la fonction de transfert pour modéliser le système et simuler la ** réponse par étapes **.

Dans le système mécanique, nous avons simulé la ** réponse impulsionnelle ** pour observer le déplacement lorsqu'une force est appliquée au point de qualité pendant un moment, mais dans le circuit électrique, la tension d'entrée $ v_ {i} (t) = 1 \ Puisqu'il est plus naturel d'observer la tension du condensateur $ v_ {C} $ quand, (t \ ge0) $ est défini, regardons la ** réponse en échelon **.

Préparation (Google Colab.environnement)

!pip install --upgrade sympy
!pip install slycot
!pip install control

Simulation de réponse de pas (fonction de transmission)

import numpy as np
import control.matlab as ctrl
import matplotlib.pyplot as plt

R = 2       #Valeur de résistance
L = 1e-3    #Intensité
C = 10e-6   #Capacitance

sys = ctrl.tf((1),(L*C,R*C,1))
print(sys)

t_range = (0,0.01)
y, t = ctrl.step(sys, T=np.linspace(*t_range, 400))

plt.figure(figsize=(7,4),dpi=120,facecolor='white')
plt.hlines(1,*t_range,colors='gray',ls=':')
plt.plot(t,y)
plt.xlim(*t_range)
plt.ylim(bottom=0)
plt.show()

Résultat d'exécution

      1
------------
s^2 + s + 10

Si la tension d'entrée est $ v_ {i} (t) = 1 , (t \ ge0) $, la tension du condensateur $ v_ {C} $ vibre d'abord et enfin $ 1 , \ [\ Vous pouvez voir qu'il s'installe en mathrm {V} ] $.

Modélisé avec un modèle d'espace d'état

Décrivez le système comme le modèle d'espace d'états $ \ mathcal {P} $ comme suit.

python

\mathcal{P}\,:\,\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{x}} = \mathbf{A}\boldsymbol{x} + \mathbf{B}\boldsymbol{u}&Équation d'état\\
\boldsymbol{y} = \mathbf{C}\boldsymbol{x} + \mathbf{D}\boldsymbol{u}&Équation de sortie (équation d'observation)
\end{array}
\right.

En guise de préparation, l'équation de circuit $ LC \ ddot {y} (t) + RC \ dot {y} (t) + y (t) = u (t) $, $ \ ddot {y} (t) = .. Transformez-le en. $.

Comme $ x \ _1 (t) = y (t) $, $ x \ _2 (t) = \ dot {y} (t) $, ** état ** $ \ boldsymbol {x} = \ [x \ _1 , , x \ _2] ^ T $ est défini.

À partir de là, $ \ dot {x} \ _1 (t) = \ dot {y} (t) = x \ _2 $. En outre, $ \ dot {x} \ _2 (t) = - \ frac {1} {LC} y (t) - \ frac {R} {L} \ dot {y} (t) + \ frac {1} {LC} u (t) $.

À partir de ce qui précède, l '** équation d'état ** suivante peut être obtenue.

python

\left[
    \begin{array}{c}
      \dot{x}_1 \\
      \dot{x}_2
    \end{array}
  \right]
=\left[
    \begin{array}{cc}
      0 & 1  \\
      -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L} 
    \end{array}
  \right]
  \left[
    \begin{array}{c}
      x_1 \\
      x_2
    \end{array}
  \right]
+ \left[
    \begin{array}{c}
      0 \\
      \frac{1}{LC}
    \end{array}
  \right] u

python

\dot{\boldsymbol{x}} 
=\left[
    \begin{array}{cc}
      0 & 1  \\
      -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L} 
    \end{array}
  \right]
\boldsymbol{x} + \left[
    \begin{array}{cc}
      0 \\
      \frac{1}{LC}
    \end{array}
  \right] u

De plus, on obtient ** l'équation de sortie ** suivante (équation d'observation) (** tension du condensateur ** $ v_ {C} $ état correspondant $ x_1 $ et ** courant ** correspondant $ Cx \ _2 (= C \ dot {y} (t) = C \ dot {v} _ {C} (t) = C \ big (\ frac {1} {C} \ dot {q} (t) \ big) = \ dot {q} (t) = i (t) ,) $ est observé).

python

y = \left[
    \begin{array}{cc}
      1 & 0\\
      0 & C\\
    \end{array}
  \right]   \left[
    \begin{array}{c}
      x_1 \\
      x_2
    \end{array}
  \right]

Cependant, $ \ mathbf {D} = 0 $.

Modélisation / simulation avec Python

Simulez une ** réponse d'étape ** dans le modèle d'espace d'états.

Préparation à l'utilisation du japonais sur les graphiques (Google Colab.environnement)

!pip install japanize-matplotlib

Simulation de réponse de pas (modèle d'espace d'états)

import numpy as np
import control.matlab as ctrl
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

R = 2       #Valeur de résistance
L = 1e-3    #Intensité
C = 10e-6   #Capacitance

A = [[0,1],[-1/(L*C), -R/L]]
B = [[0],[1/(L*C)]]
C = [[1,0],[0,C]]
D = 0

sys = ctrl.ss(A,B,C,D)
#print(sys)

t_range = (0,0.01)
y, t = ctrl.step(sys, T=np.linspace(*t_range, 400))

fig, ax = plt.subplots(nrows=2, figsize=(7,5),dpi=120,sharex='col')
fig.patch.set_facecolor('white') 
fig.subplots_adjust(hspace=0.1)  
for i,s in enumerate(['Tension du condenseur','Courant']) :
  ax[i].hlines(0,*t_range,colors='gray',ls=':')
  ax[i].plot(t,y[:,i])
  ax[i].set_ylabel(s)
  ax[i].set_xlim(*t_range)
plt.show()