[Apprentissage automatique] Comprendre la décorrélation des mathématiques

1. Introduction

(1. Objectif

Si vous voulez essayer l'apprentissage automatique, n'importe qui peut utiliser scicit-learn etc. pour l'implémenter relativement facilement. Cependant, afin d'obtenir des résultats au travail ou d'améliorer votre niveau ** "Je ne connais pas le fond, mais j'ai obtenu ce résultat" ** Vous pouvez voir qu'il est clairement faible.

Cette fois, nous allons nous concentrer sur ** "Non corrélé" **.

D'après l'explication précédente, "J'ai entendu parler de la décorrélation, pourquoi le faites-vous?" Et "Comment l'utilisez-vous?", "Quel type de traitement est effectué mathématiquement avec décorrélation?" Le but est de faire en sorte que l'article réponde à la question "?".

• Cette fois, si vous voulez bien le comprendre, vous devez comprendre diverses choses telles que la matrice, la covariance, le vecteur de valeurs propres, etc. Les mathématiques ne sont pas allées trop loin dans les détails, ** j'ai essayé de comprendre les grandes lignes **.

• Il semble que la décorrélation soit rarement utilisée seule dans l'apprentissage automatique. Au contraire, il semble être utilisé dans l'analyse en composantes principales.

(2) Configuration

Premièrement, le chapitre 2 donne un aperçu de la décorrélation, et le chapitre 3 fait en fait la décorrélation. Enfin, dans le chapitre 4, j'expliquerai comment comprendre mathématiquement la décorrélation.

• J'ai publié plusieurs articles dans une série de "Comprendre les mathématiques", donc j'espère que vous pourrez les lire ensemble. [Apprentissage automatique] Comprenez à partir des mathématiques que la normalisation entraîne une moyenne de 0 et un écart type de 1 [Apprentissage automatique] Comprendre les arbres de décision de scikit-learn et de mathématiques [Apprentissage automatique] Comprendre la régression linéaire simple à partir de scikit-learn et de mathématiques [[Apprentissage automatique] Comprendre la régression multiple linéaire à partir de scikit-learn et de mathématiques] (https://qiita.com/Hawaii/items/b84a0d669bcf5267e750) [[Machine learning] Comprendre la régression logistique à partir de scikit-learn et des mathématiques] (https://qiita.com/Hawaii/items/ee2a0687ca451fe213be) [[Machine learning] Comprendre SVM à la fois à partir de scikit-learn et des mathématiques] (https://qiita.com/Hawaii/items/4688a50cffb2140f297d) [[Apprentissage automatique] Comprendre à partir des mathématiques pourquoi le coefficient de corrélation varie de -1 à 1] (https://qiita.com/Hawaii/items/3f4e91cf9b86676c202f)

2. Qu'est-ce que la décorrélation?

Comme son nom l'indique, il s'agit ** d'éliminer la corrélation entre chaque variable **. Quel est le problème avec la forte corrélation entre chaque variable?

(1) Pourquoi il est nécessaire de décorréler

De la conclusion, ** «Parce que la variance du coefficient de régression partielle devient grande et que la précision du modèle a tendance à être instable» **.

... je ne sais pas du tout. J'expliquerai un peu plus.

Par exemple, la formule d'un modèle de régression est généralement exprimée comme suit:

$ Y = A_1x_1 + A_2x_2 + ・ ・ + b $

Mettez les données réelles dans $ y $ (variable objective) et $ x_1 $ ou $ x_2 $ (variable explicative) ici pour trouver le coefficient de régression partielle $ a_1 $ ou $ a_2 $ et le terme constant $ b $. Est une analyse de régression multiple.

Comment obtenir la dispersion de ce coefficient de régression partielle (l'image de combien le coefficient de régression partielle a tendance à prendre différentes valeurs) est déroutant s'il est écrit en détail, donc si vous n'écrivez que la conclusion, ** " (1-Coefficient de corrélation) "est inclus dans la molécule de la formule de calcul de la dispersion du coefficient de régression partielle **.

En d'autres termes, ** plus la corrélation est grande, plus la molécule est petite, et par conséquent, plus la dispersion du coefficient de régression partielle est grande = le coefficient de régression partielle a tendance à prendre différentes valeurs = la précision du modèle devient instable **

Telle est la théorie.

Dans (2), les variables à forte corrélation devraient être supprimées ...?

Comme nous l'avons vu dans (1), s'il y a des variables à forte corrélation, il n'est pas vrai que l'une d'elles doive être supprimée.

Parce que ** «forte corrélation entre les variables» signifie simplement que «les variables ont une relation linéaire» **.

• Si vous n'êtes pas sûr de cela, [Apprentissage automatique] Comprenez à partir des mathématiques pourquoi le coefficient de corrélation varie de -1 à 1 2 Voir les notes dans le chapitre.

→ Donc ** si vous le supprimez facilement, vous pouvez supprimer d'autres informations importantes que la variable peut contenir **.

(3) Alors que dois-je faire ...

Ce qui apparaît ici est la décorrélation.

Nous construirons le modèle après avoir éliminé la corrélation de chaque variable.

Je pense qu'il est difficile d'obtenir une image, alors essayons-la.

3. Essayez la décorrélation

Comme exemple concret cette fois, je prendrai les projets kickstarter de kaggle que j'utilise toujours comme exemple. https://www.kaggle.com/kemical/kickstarter-projects

Ce chapitre est long, mais ** la seule décorrélation importante est (ⅶ) **, c'est donc une bonne idée d'y regarder d'abord.

※point important※ ・ Cette fois, je n'ai pas trouvé de variable qui ne devrait pas être corrélée en tant que variable explicative. Les variables qui n'ont rien à voir avec la construction du modèle ne sont pas corrélées.

Veuillez noter que ce n'est qu'un chapitre pour reconnaître que "la décorrélation se fait de cette manière".

-Il y avait un site qui n'était simplement pas corrélé dans les projets kickstarter que j'utilise toujours dans l'exemple de mon article, alors je l'ai utilisé comme référence. https://ds-blog.tbtech.co.jp/entry/2019/04/27/Kaggle%E3%81%AB%E6%8C%91%E6%88%A6%E3%81%97%E3%82%88%E3%81%86%EF%BC%81_%EF%BD%9E%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89%E8%AA%AC%E6%98%8E%EF%BC%92%EF%BD%9E

(I) Importer

#numpy,Importer des pandas
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns

#Importer pour effectuer certains traitements sur les données de date
import datetime

(Ii) Lecture des données

df = pd.read_csv("ks-projects-201801.csv")

(Iii) Confirmation du nombre de données

De ce qui suit, vous pouvez voir qu'il s'agit de l'ensemble de données de (378661, 15).

df.shape

(Iv) Mise en forme des données

◆ Nombre de jours de recrutement

Je vais omettre les détails, mais puisque l'heure de début du recrutement et l'heure de fin du financement cloud sont dans les données, nous allons convertir cela en "jours de recrutement".

df['deadline'] = pd.to_datetime(df["deadline"])
df["launched"] = pd.to_datetime(df["launched"])
df["days"] = (df["deadline"] - df["launched"]).dt.days

◆ À propos de la variable objectif

J'omettrai également les détails ici, mais il y a des catégories autres que succès ("réussi") et échec ("échec") pour la variable objective "état", mais cette fois je n'utiliserai les données que pour le succès et l'échec.

df = df[(df["state"] == "successful") | (df["state"] == "failed")]

Remplacez ensuite le succès par 1 et l'échec par 0.

df["state"] = df["state"].replace("failed",0)
df["state"] = df["state"].replace("successful",1)

(V) Traitement des valeurs manquantes

Je suis désolé pour la conclusion, mais puisque j'utiliserai utilisé engagé après cela, seule cette variable sera traitée pour les valeurs manquantes.

df["usd pledged"] = df["usd pledged"].fillna(df["usd pledged"].mean())

(V) Confirmation du coefficient de corrélation

Vérifions la corrélation de chaque variable.

sns.heatmap(df.corr())

Maintenant, décorrélons «pleged» et «used pleded», qui sont fortement corrélés entre les variables.

• Encore une fois, ce processus lui-même n'a rien à voir avec la construction du modèle.

(Ⅶ) Non corrélé

La décorrélation elle-même est correcte si vous écrivez le code comme ci-dessous. Cependant, je ne pense pas que vous compreniez le sens, mais cette fois, veuillez lire «C'est ce que c'est» et voir le chapitre 4, «Comprendre les mathématiques».

#df seulement promis et utilisé pleged_Stocker en promis
df_corr = pd.DataFrame({'pledged' : df['pledged'], 'usdpledged' : df['usd pledged']})

#Trouver la dispersion / co-dispersion
cov = np.cov(df_corr, rowvar=0) 

#Substituer le vecteur propre de la matrice de variance co-distribuée dans S
_, S = np.linalg.eig(cov)           

#Données non corrélées *.T représente l'inversion
pledged_decorr = np.dot(S.T, df_corr.T).T 

Ceci termine la décorrélation. À titre de test, vérifions le coefficient de corrélation entre les engagements et les utilisations satisfaites.

print('Coefficient de corrélation: {:.3f}'.format(np.corrcoef(pledged_decorr[:, 0], pledged_decorr[:, 1])[0,1])) 

Si vous faites cela, "Coefficient de corrélation: 0,000" s'affiche. J'ai réussi à décorréler!

4. Comprendre la décorrélation des mathématiques

(1) Prémisse

Voyons maintenant comment ce chapitre gère la décorrélation mathématiquement. Comme mentionné au début, il est nécessaire de penser à «matrice» et «valeur propre / vecteur propre» pour comprendre la décorrélation.

Si vous trouvez cela difficile, vous pouvez l'ignorer, et l'explication elle-même n'est pas détaillée, mais en gros, elle est expliquée de cette manière.

(2) Exemple spécifique

S'il y a des variables explicatives, laissez-les être respectivement $ \ boldsymbol {x_1} $, $ \ boldsymbol {x_2} $ ・ ・ ・ $ \ boldsymbol {x_n} $.

• Par exemple, dans l'exemple précédent, promed est $ \ boldsymbol {x_1} $ et usdpledged est $ \ boldsymbol {x_2} $.

La matrice de distribution / co-distribution entre ces variables peut s'écrire comme suit.

Le cadre bleu montre la co-distribution de deux combinaisons de chaque variable, et le cadre rouge montre la distribution de chaque variable.

• Il se peut que certaines personnes obtiennent soudainement une matrice et obtiennent une réaction de rejet, mais plutôt que de comprendre la matrice, ici ** "La co-distribution de deux paires de toutes les variables est dans le cadre bleu. Oui, le cadre rouge contient la distribution de chaque variable. "** Veuillez comprendre.

Cette matrice de dispersion / co-dispersion est transformée en la suivante en ** effectuant un processus appelé diagonalisation **!

• La diagonalisation n'est pas le but, je vais donc l'omettre.

... je ne pense pas être sûr. L'important ici est que ** le cadre bleu (co-dispersion) est tout 0 **.

** La diagonalisation peut réduire la covariance à 0, ce qui est exactement la même chose que le traitement non corrélé **.

Alors pourquoi est-il non corrélé lorsque la covariance entre chaque variable est de 0?

Pour comprendre cela, rappelons la formule du coefficient de corrélation. Si le coefficient de corrélation est r, alors r est calculé comme suit.

** (Coefficient de corrélation r) = (Covariance) / (Écart type de $ x $) ・ (Écart type de $ y $) **

À partir de cette équation, nous pouvons voir que ** la covariance est 0, c'est-à-dire que la molécule est 0, donc le coefficient de corrélation est 0 **.

C'est pourquoi ** la covariance entre chaque variable a été fixée à 0 par diagonalisation, et le coefficient de corrélation a été fixé à 0 pour obtenir la décorrélation **.

5. Conclusion

Comment était-ce? Ma pensée est: "Je ne peux pas interpréter même si on me montre un code très compliqué depuis le début, donc je ne me soucie pas de la précision une fois, donc je vais essayer d'implémenter une série de flux de base avec scicit-learn, etc." Je pense que c'est très important.

Cependant, une fois que je m'y suis habitué, je pense qu'il est très important de comprendre comment ils fonctionnent dans les coulisses à partir d'un fond mathématique.

Je pense que de nombreux contenus sont difficiles à comprendre, mais j'espère que cela aidera à approfondir ma compréhension.